Tangenter og Normaler

Her har jeg skrevet ned noen generiske formler for tangent og normalfunksjoner. For å få et funksjonsuttrykk for tangenten $f_t$ (eller normalen $f_n$) til funksjonen $f$ i punktet $p$ (der $x = 2$ for eksempel), må du bare regne ut $f(2)$, $f'(2)$, stappe de i formelen og forkorte litt.

Formlene

$f_t(x) = f'(p)x + f(p) - f'(p)p$

$f_n(x) = \frac{-1}{f'(p)}x + f(p) - \frac{-1}{f'(p)}p$

Her er $p$ punktet (x-verdien) du vil tangere eller finne et normaluttrykk for.

Hvorfor De Fungerer

1. Både tangent og normalfunksjoner er linjærfunksjoner på formen $ax + b$ (bare stigningstallet $a$ og konstantleddet $b$ vi trenger å bry oss om).

2. Stigningstallet $a$ til funksjonen $f$ i punktet $x$ er det samme som $f'(x)$.

3. Konstantleddet $b$ får man med å snu formelen $f(x) = ax + b$ slik man får uttrykket $b = f(x) - ax$.

4. Siden $f'(x)$ er det samme som stigningstallet $a$, kan dette skrives om til $b = f(x) - f'(x)x$.

5. Hvis man kombinerer dette i en linjærfunksjon får man tangentfunksjonen $f_t(x) = f'(p)x + f(p) - f'(p)p$. Hvor p-variablen er punktet (x-verdien) du vil tangere. Dette er da et $ax + b$ uttrykk hvor vi har ekspandert $a$ og $b$ (og latt x være).

6. Normalfunksjonen er tangentfunksjonen rotert 90 grader om tangeringspunktet $p$ (som kan gjøres ved å modifisere stigningstallet).

7. Hvis vi lar tangentfunksjonen være $ax + b$, er normalfunksjonen $\frac{-1}{a}x + b$.

8. Om man da modifiserer den fulle tangentfunksjonen tilsvarende får man normalfunksjonen $f_n(x) = \frac{-1}{f'(p)}x + f(p) - \frac{-1}{f'(p)}p$